Este artículo será el menos popular de todo Medium (porque habla de la belleza de las matemáticas sobre epidemias)

Para darse cuenta de la belleza de las matemáticas hay que tener un sentido estético muy elevado.

Tradicionalmente la Matemática es la asignatura más difícil, desde primaria hasta la universidad, o al menos la que aparenta ser más difícil. La mayoría de personas huye cuando ve una ecuación o alguien cita alguna fórmula mas o menos “compleja”. No tenemos más que leer “El hombre anumérico”, de John Allen Paulos, que relata con una gran ironía los problemas que los seres humanos tienen con el uso de las matemáticas.

Yo no soy matemático, soy economista, y tuve en la Facultad varias asignaturas matemáticas, y sobre todo econométricas. Mi sentido estético no lo tengo muy evolucionado, pero cuando veo un sistema de ecuaciones “bello”, caigo rendido automáticamente.

A raíz del Covid, surgieron varios conceptos matemático/técnicos que se han ido haciendo desgraciadamente populares, como la “inmunidad de grupo”, que se podría conseguir, segun se ha ido diciendo, con un 80% de población vacunada, aunque la cifra varía según modelos y expertos. Pero no entendía porqué el 80% y no el 65% o el 50%.

Y hojeando libros que tenía en casa, de repente encuentro “Generative Social Science”, de J. Epstein. En el preludio al capitulo 12, describe las ecuaciones de Kermack-McKendrick, originalmente publicadas en 1927. Casi podría decir que todavía sigo con el Síndrome de Stendhal ante las tres ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan el flujo de la dinámica epidémica y que me han servido para entender cómo calcular la inmunidad de grupo y que comparto en este artículo.

Miren qué hermoso. Supongamos tenemos a toda la población dividida entre los que son susceptibles de infectarse (S), los infectados (I) y el resto (R), que pueden ser fallecidos o inmunizados. Al modelo se lo llama SIR justamente por el orden en que se produce el flujo, desde los susceptibles, pasando por los infectados hasta salir inmune o fallecer por el virus.

Vamos a llamar r a la tasa de contagio, y p a la tasa a la cual los infectados (I) mueren o se inmunizan.

El flujo de contagio queda representado por esta ecuación:

dS/dT = - r * S * I (1)

Como véis, la población se contagia siguiendo una tasa de contagio r que aplica sobre un mix perfecto de población que viene representado por el producto S*I. Esto supone que todos las personas susceptibles de infectarse se ponen en fila y los infectados van pasando, uno a uno, y les estornudan en su cara….

La segunda ecuación es esta:

dI/dt = r * S * I -p * I (2)

Lo que está diciendo es que el flujo de infectados neto en cada momento depende de la gente que se va infectando a la tasa r , al que hay que restarle los que salen de ese estadio, sea por fallecimiento o por inmunización, a la tasa p

Y la última ecuación: el pool de población fallecida o inmune es un porcentaje del total infectados, que depende de la tasa p

dR/dt = p * I (3)

¿Cómo calculamos la inmunidad de grupo? Para eso primero tenemos que entender cómo ocurre una epidemia, o mejor dicho, como se origina y sigue viva, y esto pasará siempre que el pool de población infectada (dI/dt) esté creciendo….dicho de modo matemático: siempre que dI/dt > 0

Si volvemos a la ecuación 2, tenemos

dI/dt = r * S * I — p * I > 0

Una epidemia cobrará fuerza y seguirá viva siempre que r * S * I > p * I

Como I está en los dos lados, podemos cancelar, y si despejamos para S, tenemos que:

S > p / r (4)

La gran implicación de esto es que el pool de población susceptible de contagiarse tiene un límite impuesto por la ratio p / r. Es decir no se requiere inmunización total para prevenir una epidemia. Esta es la primera reflexión contraintuitiva gracias a la ecuación 4.

Imaginemos un virus como el covid, con tasa de contagio r de 2,2 (1 persona contagia de media a 2,2 personas) y tasa de mortalidad de 35 % (de cada 100 personas que llegan a la UCI, se mueren 35)

Esto quiere decir que S= 16%, es decir, la epidemia se detendría siempre que la población susceptible de inmunizar no sobrepase el 16 % del total (y que la vacuna fuese efectiva al 100 %). Dicho de otro modo, la inmunidad de grupo se conseguiría con el 84 % de población vacunada (aunque esto es solo un ejercicio teórico para que se entienda la dinámica del modelo SIR).

El segundo hecho contraintuitivo es que cuanto más mortal sea un virus, menos probabilidad hay que la epidemia se inicie y se extienda. Por que? Volvamos a la ecuación 4.

S > p / r

A medida p / r se haga más grande, tendremos que vacunar cada vez a menos gente para conseguir inmunidad de grupo. En el limite de una mortalidad perfecta (p=100% y r=100%), no tendemos que vacunar a nadie, porque el virus matará al individuo antes de que pueda contagiar a otros…..

Yo sigo con el síndrome de Stendhal.